Lectures grothendieckiennes

24 octobre 2017

Pierre Cartier : "Il a tué l'analyse fonctionnelle" (Dieudonné,1950)

Le but sera de présenter l'état de l'Analyse Fonctionnelle au moment où Grothendieck entre en scène, vers 1948, et les personnages incontournables : Gelfand, Mackey, Dieudonné, Schwartz, Choquet, etc.

Mardi 7 novembre 2017

Alain Connes - Un topo sur les topos

J'y présenterai la démarche intellectuelle qui a mené Alexandre Grothendieck, à partir d'une "emmerdante" rédaction qu'il devait faire pour Bourbaki sur l'algèbre homologique, à découvrir et mettre au point la notion de topos et j'essaierai d'expliquer en quel sens cette notion a une portée considérable grâce en particulier aux nuances qu'elle introduit entre le vrai et le faux.

Mardi 5 décembre 2017

Jean-Jacques Szczeciniarz - Prolégomènes à une étude philosophique de l'œuvre d'Alexandre Grothendieck

L'exposé évoquera entre autres : 1) La naissance de la théorie des schémas 2) Une généralisation importante : les espaces annelés 3) La théorie des schémas sa grande nouveauté, de la géométrie algébrique classique à la géométrie algébrique de Grothendieck 4) Schéma de Hilbert

Mardi 9 janvier 2018

La notion de vérité selon Grothendieck - Laurent Lafforgue

 

Mardi 6 février 2018

Les travaux de Grothendieck sur les espaces de Banach et leurs surprenantes répercussions actuelles - Gilles Pisier

La thèse de Grothendieck et son article ultérieur intitulé "Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques" (1956) a eu un énorme impact sur le développement de la géométrie des espaces de Banach pendant les 60 dernières années. Nous passerons en revue ce "Résumé" en nous concentrant sur le résultat que Grothendieck lui-même a appelé le théorème fondamental de la théorie métrique des produits tensoriels, maintenant devenu "l'inégalité de Grothendieck" ou "le théorème de Grothendieck". Ce résultat a récemment fait une apparition pour le moins inattendue dans plusieurs domaines a priori fort éloignés des préoccupations de Grothendieck. L'une a trait aux C∗
-algèbres et aux espaces d'opérateurs (ou "espaces de Banach non-commutatifs"), une autre aux inégalités de Bell et à leur "violation" en mécanique quantique, une dernière relie la constante de Grothendieck au problème P=NP et à la théorie des graphes.

Mardi 6 mars 2018

La "notion unificatrice" de topos - Olivia Caramello

«C’est le thème du topos qui est ce “lit”, ou cette “rivière profonde” où viennent s’épouser la géométrie et l’algèbre, la topologie et l’arithmétique, la logique mathématique et la théorie des catégories, le monde du continu et celui des structures “discontinues” ou “discrètes”. Il est ce que j’ai conçu de plus vaste, pour saisir avec finesse, par un même langage riche en résonances géométriques, une “essence” commune à des situations des plus éloignées les unes des autres provenant de telle région ou de telle autre du vaste univers des choses mathématiques”.»

A. Grothendieck

 

Mardi 3 avril 2018

La variable complexe dans la première décennie de l'oeuvre grothendickienne : collection d'exemples, réseau d'idées, source de visions - Fernando Zalamea

Un thème fondamental de toute l'œuvre de Grothendieck est le désir de rechercher des notions souples et naturelles dans la pensée mathématique. En particulier, la variable complexe, comme paradigme de souplesse technique, a été toujours présente dans son œuvre, dès ses premiers articles et l'apparition des espaces nucléaires (exemple, espaces de fonctions holomorphes), jusqu'aux travaux finaux sur la tour de Grothendieck-Teichmüller et les dessins d'enfants, en passant par les hauts points du Riemann-Roch-Grothendieck et la vision des schémas étales, où Galois et Riemann convergent en profondeur. Nous nous concentrerons (1) sur les divers exemples autour de la variable complexe étudiés par Grothendieck dans sa première décennie (1949-1958), (2) le réseau d'idées sous-jacent, (3) les visions que Grothendieck en tire, en particulier dans la conférence d'Edinburgh (1958), point tournant de son programme mathématique.

Jeudi 3 mai 2018
Grothendieck's 1973 topos lectures
Colin McLarty
 

In the summer of 1973 Grothendieck lectured on several subjects in Buffalo NY, and these lectures were recorded, including 33 hours on topos theory. The topos lectures were by far the most informal of the series, with the most significant audience discussion, and Grothendieck says they are the only ones for which he developed new ideas. While they do not contradict any of his published accounts (including Récoltes et semailles) they provide important new insights. For one, they reveal more of how he connected his idea of topos to his Tohoku paper on homological algebra; and also to Serre's isotrivial covers. The beginning lectures show Grothendieck's choice of what to emphasize in the subject. As he warms up in the following lectures he goes beyond SGA by offering a more directly, or naively, geometrical conception of a topos as a generalized topological space than occurs in SGA. Much of the series is spent on extending the ideas of algebraic structure, and classifying topos, in the 2-categorical setting. The lectures illustrate several aspects of what Grothendieck called "building houses", and why, despite the resistance he met, he said "we advise the reader nonetheless to assimilate the language of topos" (printed in SGA VII). At the end of the last topos lecture (July 13, 1973) he discusses the news that Deligne had completed the proof of the Weil Conjectures. This is before he learned how Deligne did it. Here he discusses the role of universes, and what could be desirable alternatives to them.

Mardi 5 juin 2018

L'inspiration toposique de la théorie de l'homotopie de Grothendieck ou comment se débarrasser des ensembles simpliciaux

Georges Maltsiniotis

Dans "Pursuing Stacks", Grothendieck a émis la conjecture, connu aujourd'hui comme l'hypothèse de l'homotopie, affirmant que les oo-groupoïdes faibles sont des modèles pour les types d'homotopie. Dans une démarche purement Grothendieckienne, il cherche à étudier toutes les catégories qui modélisent canoniquement les types d'homotopie. Sa catégorie de modèles préférée est celle des petites catégories, une petite catégorie représentant le type d'homotopie de son topos des préfaisceaux. Il effectue les constructions usuelles de la théorie de l'homotopie, comme par exemple celle de l'espace des lacets, à l'intérieur de cette catégorie. En s'inspirant des propriétés cohomologiques des morphismes propres ou lisses de schémas, il introduit les notions de foncteur propre ou lisse. Son aversion envers les ensembles simpliciaux le conduit à dégager la notion de catégorie test et plus généralement de topos modélisateur dont les objets sont des modèles des types d'homotopie.